Η φιλοσοφία των μαθηματικών ξεκινά με απλά ερωτήματα που οδηγούν σε σύνθετα ζητήματα: γιατί 1 + 1 = 2; Γιατί η πρόταση “1 + 1 = 2” φαίνεται τόσο διαφορετική από την πρόταση “χθες έβρεχε”;
«ὅπερ ἔδει δεῖξαι»: Τι σημαίνει η φράση που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί;
Εξάλλου, τι εννοούμε καν με τους αριθμούς “1”, “2”, …; Υπάρχει ο αριθμός “1”; Αν ναι, πώς και πού; Αυτά τα ερωτήματα απασχολούν τους φιλοσόφους από τότε που άρχισε να ασκείται η μαθηματική σκέψη. Είναι ερωτήματα πολύ γενικά και πολύ δύσκολα να απαντηθούν, όπως πολλά ερωτήματα της φιλοσοφίας – για να καταλάβουμε πραγματικά προτάσεις όπως “1 + 1 = 2”, φαίνεται να χρειαζόμαστε πολύ μεγάλο φιλοσοφικό υπόβαθρο, όπως συνέβαινε με τις παλιότερες προσεγγίσεις στη φιλοσοφία των μαθηματικών. Από τον Πλάτωνα μέχρι τον Λάιμπνιτς και τον Καντ, οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα οδήγησαν και αποτέλεσαν τμήμα ενός μεγαλύτερου συστήματος: της φιλοσοφίας των μαθηματικών.
Τόσο τα μαθηματικά όσο και η φιλοσοφία έχουν αλλάξει πολύ σε σύντομο χρονικό διάστημα. Οι παλιοί προβληματισμοί εξακολουθούν να καθοδηγούν την έρευνα: οι φιλόσοφοι των μαθηματικών πρέπει να προσδιορίσουν τι είδους ύπαρξη αποδίδεται σε αντικείμενα όπως ο “1” και ο “κύκλος”, και τι είδους αλήθεια σε προτάσεις όπως “1 + 1 = 2”.
Ωστόσο, τα σύγχρονα μαθηματικά θέτουν στους φιλοσόφους νέα και περίπλοκα ερωτήματα, και υποδεικνύουν αντικείμενα, η φύση των οποίων είναι ακόμα πιο δύσκολο να προσδιοριστεί. Αυτά τα ερωτήματα έχουν οδηγήσει σε τόσο διαφορετικές και φαινομενικά ασυμβίβαστες απαντήσεις που η φιλοσοφία των μαθηματικών μπορεί να μοιάζει με ένα παράξενο άθλημα στο οποίο κάποιος επιλέγει πλευρά και την υπερασπίζεται φανατικά απέναντι σε όλες τις άλλες. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι υπάρχουν τόσες πολλές “πλευρές” που θα ήταν αδύνατο να τις καλύψουμε όλες σε μια τόσο σύντομη εισαγωγή όπως αυτή που διαβάζετε τώρα.
Η καθημερινή μας αντίληψη για το μέγεθος ενός συνόλου περιορίζεται στο απλό μέτρημα: Έχοντας δύο συλλογές αντικειμένων, μπορούμε να διαπιστώσουμε αν έχουν το ίδιο μέγεθος μετρώντας τα αντικείμενα κάθε συλλογής και συγκρίνοντας τα αποτελέσματα – Έχω τρία μήλα, εσύ έχεις τρεις μπανάνες. Ο Κάντορ εμβάθυνε στην έννοια του “να έχεις το ίδιο μέγεθος με” και αφαίρεσε την έννοια της αμοιβαίας αντιστοιχίας: δύο σύνολα έχουν το ίδιο μέγεθος εάν μπορούμε να αντιστοιχίσουμε μοναδικά τα στοιχεία τους – εάν σε κάθε μπανάνα σου μπορώ να αντιστοιχίσω ακριβώς ένα από τα μήλα μου.
Αλλά, με αυτή την απλή αφαίρεση, μπορούμε πλέον να μιλάμε για το “μέγεθος” των άπειρων συνόλων: μπορούμε να πούμε ότι δύο άπειρες συλλογές έχουν το ίδιο μέγεθος εάν μπορούμε να τις θέσουμε σε τέτοια αμοιβαία αντιστοιχία. Όπως αποδεικνύεται, υπάρχουν άπειρα σύνολα που δεν μπορούν να σχετιστούν μοναδικά με αυτόν τον τρόπο. Για παράδειγμα, υπάρχουν “περισσότεροι” πραγματικοί αριθμοί (δηλαδή, όλος ο άξονας των αριθμών – άπειροι δεκαδικοί και όλοι οι άλλοι) απ’ ότι ακέραιοι αριθμοί, παρόλο που και οι δύο συλλογές είναι άπειρες.
Τα πράγματα γίνονται πιο περίπλοκα – το Θεώρημα του Κάντορ μας λέει, ουσιαστικά, ότι υπάρχουν πολλά διαφορετικά είδη άπειρου: άπειρα πολλά, στην πραγματικότητα, και για κάθε άπειρη συλλογή, υπάρχει πάντα μια μεγαλύτερη. Αυτός ο νέος τρόπος χειρισμού της έννοιας του αριθμού οδήγησε στη μελέτη των αριθμών χαρακτηριστικής ισχύος, οι οποίοι αποτελούν μια ριζική επέκταση της μέτρησης που μας επιτρέπει να μιλάμε για κάθε είδους πραγματικό άπειρο.
Αυτά τα παράξενα φαινόμενα οδήγησαν πολλούς σημαντικούς μαθηματικούς να αντιταχθούν έντονα σε αυτό το νέο πραγματικό άπειρο, όπως ο Ανρί Πουανκαρέ, ο οποίος δήλωσε ότι “Δεν υπάρχει πραγματικό άπειρο, οι Καντόρειοι το έχουν ξεχάσει αυτό και έχουν πέσει σε αντιφατικότητα”. Οι ιδέες του Κάντορ, αν και τώρα είναι σχεδόν πανταχού παρούσες στα μαθηματικά, αρχικά δεν ήταν καθόλου δημοφιλείς. Όμως, για ορισμένους – ανάμεσά τους και ο Χίλμπερτ – αυτό το διάλειμμα από το πεπερασμένο ήταν μια μεγάλη νίκη για την ελεύθερη ανάπτυξη των μαθηματικών. Για τον Χίλμπερτ, η μαθηματική εγκυρότητα του άπειρου του Κάντορ ήταν ζήτημα μεγάλης αισθητικής σημασίας, όπως μπορεί να αντιληφθεί κανείς από το περίφημο του απόφθεγμα: “Από τον παράδεισο που δημιούργησε ο Κάντορ για εμάς, κανένας δεν θα μπορέσει να μας διώξει”.
Οι διαφορές στις προοπτικές της φιλοσοφίας των μαθηματικών μπορούν εν μέρει να βαθμονομηθούν με βάση τις στάσεις απέναντι σε αυτά τα νέα άπειρα. Η άποψη του Χίλμπερτ τον έθεσε σε άμεση αντιπαράθεση με έναν άλλο εξέχοντα στοχαστή, τον Λ.Ε.Γ. Μπράουερ, οδηγώντας σε μια διαβόητη φιλοσοφική αντιπαράθεση. Ένα από τα πιο γνωστά θεωρήματα του Χίλμπερτ, και ο πυρήνας μιας έντονης διαφωνίας μεταξύ του ίδιου και του Μπράουερ, είναι το λεγόμενο Θεώρημα Βάσης. Αυτό που ήταν ενδιαφέρον για τους φιλοσόφους και απαράδεκτο για τον Μπράουερ, ήταν ο τρόπος που ο Χίλμπερτ το απέδειξε.
Το Θεώρημα Βάσης του Χίλμπερτ είναι ένα θεώρημα ύπαρξης – έχει τη μορφή “υπάρχει τουλάχιστον ένα X”. Οι μαθηματικοί, όταν καλούνται να αποδείξουν ότι “υπάρχει τουλάχιστον ένα X”, μπορούν να ακολουθήσουν μία από τις δύο προσεγγίσεις: είτε πρέπει να δείξουν πώς να βρουν τέτοιο X, είτε να δείξουν ότι είναι αδύνατο να μην υπάρχει τέτοιο X. Οι αποδείξεις του πρώτου τύπου ονομάζονται κατεργαστικές, ενώ οι αποδείξεις του δεύτερου τύπου μη κατεργαστικές. Η απόδειξη του Χίλμπερτ για το Θεώρημα Βάσης ήταν μη κατεργαστική. Ο Μπράουερ διαφώνησε έντονα: ίδρυσε και υπερασπίστηκε με πάθος μια φιλοσοφική προσέγγιση στα μαθηματικά γνωστή ως ενδοσκοπισμός. Ο ενδοσκοπισμός αρνείται να θεωρήσει τα μαθηματικά αντικείμενα ως πράγματα που δεν κατασκευάστηκαν από τη δραστηριότητα του νου. Για τον Μπράουερ, οι μη κατεργαστικές τεχνικές απόδειξης, όπως αυτές που χρησιμοποιούσε ο Χίλμπερτ, ήταν σοβαρά προβληματικές. Το ευρύτερο φιλοσοφικό ρεύμα των μαθηματικών που απορρίπτει αυτές τις μη κατεργαστικές αποδείξεις είναι γνωστό ως κατασκευαστισμός.
Έτσι, ο Χίλμπερτ και ο Μπράουερ δεν προσέφεραν μόνο διαφορετικές προοπτικές σχετικά με την πραγματικότητα και την εγκυρότητα των μαθηματικών αντικειμένων, αλλά και ριζικά διαφορετικούς τρόπους προσέγγισης των μαθηματικών. Παρά τις προκλήσεις, τελικά βρέθηκε μια λειτουργική λύση στο πρόβλημα της αξιωματικοποίησης της θεωρίας συνόλων με τη μορφή των αξιωμάτων Zermelo-Fraenkel (μαζί με το αξίωμα της επιλογής, που ιστορικά ήταν πιο αμφιλεγόμενο αν και λιγότερο σήμερα) Στην πράξη, αυτή η οντολογία – η οποία περιέχει μόνο ένα αντικείμενο, ένα σύνολο, από το οποίο κατασκευάζονται τα πάντα – είναι η “προεπιλογή” για τους μαθηματικούς σήμερα (αν και σε καμία περίπτωση η μοναδική επιλογή).
Η θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkel βρίσκεται κατά μήκος ολόκληρης της διαδρομής από τον φιλοσοφικό στοχασμό στη συγκεκριμένη μαθηματική γνώση – είναι πλέον και αυτή ένα μαθηματικό αντικείμενο που μελετάται από τους λογικούς. Αλλά όπως η έννοια του “συνόλου” του Κάντορ αμφισβήτησε τον τρόπο σκέψης των φιλοσόφων για τα μαθηματικά, έτσι και νεότερες αφηρημένες έννοιες αρχίζουν να κάνουν το ίδιο, καθώς οι νέες θεμελιώδεις προσεγγίσεις έρχονται και φεύγουν. Όχι μόνο τα παλιά ερωτήματα παραμένουν επίκαιρα, αλλά και νέα ερωτήματα προκύπτουν από νέες ιδέες στα μαθηματικά, κρατώντας πάντα απασχολημένους τους φιλοσόφους, καθώς η αλληλεπίδραση μεταξύ φιλοσοφίας και μαθηματικών βαθαίνει.
Αρχαίοι Έλληνες: Πώς μελετούσαν μαθηματικά αποκλειστικά με αλφαβητικά σύμβολα;
